策略6 分鐘可讀完

用理論學撲克 #2：在 AKQJT9 遊戲中探討數學上最佳的下注尺度拆分

2025年3月20日

としき

東京大学大学院情報理工学系研究科に所属。主にゲームAIや自然言語アルゴリズムの研究を専門とする鶴岡研究室にて活動。CLOViZ株式会社にてPOKER Q'zの開発もリード。

前言

本文是上一篇的續篇。還沒讀過的讀者，請先閱讀上一篇。

用理論學撲克 #1 : 在 AKQ 遊戲中探討數學上最優的價值注碼大小

東京大學研究所的遊戲 AI 研究員，以簡單的 AKQ 遊戲為主題，用數學公式推導撲克價值注的最優注碼大小。以數學解析注與底池的比例、詐唬頻率與跟注閾值（無差別…

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這次的主題是「尺度拆分」。在中，一般來說越強的價值牌越傾向使用越大的下注尺度，但這是為什麼呢？這次我們將運用「AKQJT9 遊戲」這個 toy game，從數學觀點來思考這個疑問。

1. 什麼是 AKQJT9 遊戲？

AKQJT9 遊戲是為了探討這個主題而自行設計的 toy game，是上一篇介紹的「AKQ 遊戲」的延伸變體。和 AKQ 遊戲相比，只是牌數從 3 張增加到 6 張，但還是先簡單複習一下規則。

玩家
本遊戲由 Hero 與 Villain 兩人進行。
牌
使用的牌只有 A K Q J T 9 這 6 張，強弱依序為 A > K > Q > J > T > 9。每位玩家會隨機獲得其中 1 張，不會出現兩張相同 rank 的牌。
Hero 永遠在 IP（in position），Villain 永遠在 OOP（out of position）。
行動
1. 遊戲直接從 river 開始，由 Villain（OOP）先行動。此時 Villain 一律選擇 check。
2. 接著 Hero（IP）可以選擇任意下注尺度，或 check back。
3. 若在第 2 步 Hero check back，則直接進入 showdown（）。
4. 若在第 2 步 Hero 下注，Villain 只能在 call 或 fold 兩者中選擇，不能 raise。
大小
初始底池為1。

2. 以演算法計算出的 GTO 解

接下來我們想用數學式計算這個遊戲的最佳解，但為了更容易掌握概念，先來看看以 CFR 演算法計算出的 GTO 解。（關於 CFR 演算法的詳細內容，之後有機會再談。）

圖 1 是筆者用自行建置的工具將 GTO 解圖示化的結果。range 表採 GTO Wizard 風格製作。這張表顯示的是在實際撲克中，board 為 22233（也就是與本文的 A~9 沒有直接關聯的 board）且被 Villain check 之後，Hero 整個 range 的策略。

不過，雙方的 hand range 僅限於 AA、KK、…99 這 6 個 combo（口袋對只使用黑桃、紅心的 combo）。

此時牌的強弱為 AA > KK > … > 99，且雙方不會拿到相同的，因此這個情境與 AKQJT9 遊戲等價。

這次準備了從 15% 到 160% 的各種下注尺度選項。紅色代表大注、橘色代表小注、綠色代表 check。

可以發現 nuts 的 A 比 second nuts 的 K 採用了更大的尺度，也就是進行了下注尺度拆分。

圖 2 圖 1 中 KK 的策略（左欄為頻率，右欄為 EV。EV 以 100 倍顯示）

圖 3 圖 1 中 AA 的策略（左欄為頻率，右欄為 EV。EV 以 100 倍顯示）

此外，圖 2、圖 3 詳細顯示了手牌為 KK、AA 時應使用的策略。對各手牌而言，最理想的是使用能讓最大化的下注尺度，而且可以看出越高的行動，採行頻率越高。

從圖 1 到圖 3，可以歸納出關於 AKQJT9 遊戲的以下重點。

《目前為止的整理》

nuts 的 A 純粹使用大注。最佳尺度似乎落在 120% 到 130% 之間，略偏 120% 的位置。
second nuts 的 K 純粹使用小注。最佳尺度似乎落在 25% 到 30% 之間，略偏 30% 的位置。
Q 到 T 這些 marginal hand 純粹 check。
最弱的 9 則兼用 A 和 K 兩種價值下注的尺度，以適當頻率進行 bluff 下注。

※補充

Q 無法打價值下注。如果用 Q 下注，對手會用 A、K 穩穩 call，用 9 穩穩 fold。如此一來，即使對手用 J、T 以全部頻率做 bluff-catch call，被 call 之後的 equity 仍會變成 50%，可見這並不能發揮價值下注的功能。
T 不會做 bluff 下注。因為就所需的 combo 數量而言，光靠 9 就足夠了（後述）。

3. 將下注尺度設為任意兩個尺度的 AKQJT9 遊戲最佳解

那麼，接下來進入數學分析的部分。

這個遊戲存在尺度拆分，因此我們把 A 使用的價值下注尺度設為 $b_{A}$ ，K 使用的價值下注尺度設為 $b_{K}$ 。

根據上一篇，當某個強牌以尺度 $b$ 純粹價值下注時，讓對手的 marginal hand 在 call 與 fold 之間（indifferent）的 bluff 下注頻率為 $\frac{b}{1 + b}$ 。這次使用的下注尺度有兩種，因此 Hero 的最佳策略如下。

Hero 的策略

Hero（IP）的手牌	bet $b_{A}$ 的頻率	bet $b_{K}$ 的頻率	check 的頻率
A	1	0	0
K	0	1	0
Q、J、T	0	0	1
9	$\frac{b _{A}}{1 + b _{A}}$	$\frac{b _{K}}{1 + b _{K}}$	$1 - \frac{b _{A}}{1 + b _{A}} - \frac{b _{K}}{1 + b _{K}}$

針對這個策略，Villain 會如下回應。這裡暫時將面對 bet $b_{A}$ 時 marginal hand（K 到 T）的 bluff-catch 頻率設為 $f_{1}$ ，面對 bet $b_{K}$ 時 marginal hand（Q 到 T）的 bluff-catch 頻率設為 $f_{2}$ 。（具體數值接下來會計算。）

Villain 面對 Hero bet $b_{A}$ 的策略

Villain 的手牌	call 的頻率	fold 的頻率
A（1 個 combo）	1	0
K、Q、J、T（4 個 combo）	$f_{1}$	$1 - f_{1}$
9（1 個 combo）	0	1

Villain 面對 Hero bet $b_{K}$ 的策略

Villain 的手牌	call 的頻率	fold 的頻率
A、K（2 個 combo）	1	0
Q、J、T（3 個 combo）	$f_{2}$	$1 - f_{2}$
9（1 個 combo）	0	1

根據上一篇，Villain 的最佳 bluff-catch 頻率，是讓 Hero 的弱牌在 bluff 下注與放棄 check 之間無差異的頻率。也就是說，

（Hero 用 9 bet $b_{A}$ 的 EV）＝（Hero 用 9 bet $b_{K}$ 的 EV）＝（Hero 用 9 check 的 EV）

只要成立即可，因此可得到以下等式。

$\frac{1 ・ ( - b _{A} ) + 4 f _{1} ・ ( - b _{A} ) + 4 ( 1 - f _{1} ) ・ 1}{5} = \frac{2 ・ ( - b _{K} ) + 3 f _{2} ・ ( - b _{K} ) + 3 ( 1 - f _{2} ) ・ 1}{5} = 0$

解出後可得 $f_{1} = \frac{4 - b _{A}}{4 ( 1 + b _{A} )}$ 、 $f_{2} = \frac{3 - 2 b _{K}}{3 ( 1 + b _{K} )}$ 。

另外， $1 - f_{1} = \frac{5 b _{A}}{4 ( 1 + b _{A} )}$ 、 $1 - f_{2} = \frac{5 b _{K}}{3 ( 1 + b _{K} )}$ 。（之後會用到）

4. 能最大化 Hero 整個 range 的 EV 的 $b_{A}, b_{K}$ 是多少？

既然雙方的最佳策略都清楚了，接著就來求能最大化 Hero 整個 range 的 EV 的 $b_{A}, b_{K}$ 。上一篇提到，marginal hand 與弱牌的 EV 不依賴 Hero 的下注尺度。因此，只要分別考慮 A、K（價值牌）的 EV，就能求得最佳的 $b_{A}, b_{K}$ 。

那麼就來實際計算 A、K 的 EV。A 的 EV 可以像上一篇那樣計算，但 K 的 EV 有一點需要注意。那就是K 有可能對著對手的 A 打錯價值（miss value）。注意這一點，將 Hero 拿 A 的 EV 設為 $E_{A} (b_{A})$ 、Hero 拿 K 的 EV 設為 $E_{K} (b_{K})$ ，則

$E_{A} (b_{A}) = \frac{4 f _{1} ・ ( 1 + b _{A} ) + ( 4 ( 1 - f _{1} ) + 1 ) ・ 1}{5} = \frac{1}{5} ((4 - b_{A}) + \frac{5 b _{A}}{1 + b _{A}} + 1) = \frac{1}{5} (5 + \frac{5 b _{A}}{1 + b _{A}} - b_{A})$

$E_{K} (b_{K}) = \frac{1 ・ ( - b _{K} ) + 3 f _{2} ・ ( 1 + b _{K} ) + ( 3 ( 1 - f _{2} ) + 1 ) ・ 1}{5} = \frac{1}{5} (- b_{K} + (3 - 2 b_{K}) + \frac{5 b _{K}}{1 + b _{K}} + 1) = \frac{1}{5} (4 + \frac{5 b _{K}}{1 + b _{K}} - 3 b_{K})$

接著，將函數微分後，分別求出讓 $E_{A} (b_{A})$ 最大化的 $b_{A}$ ，以及讓 $E_{K} (b_{K})$ 最大化的 $b_{K}$ 。

運用日本高中數 III 所學的分數函數微分公式，可得

$\frac{d}{d b _{A}} E_{A} (b_{A}) = \frac{1}{( 1 + b _{A} ) ^{2}} - \frac{1}{5}$

$\frac{d}{d b _{K}} E_{K} (b_{K}) = \frac{1}{( 1 + b _{K} ) ^{2}} - \frac{3}{5}$

由此可得：

$\frac{d}{d b _{A}} E_{A} (b_{A})$ 與 $\frac{d}{d b _{K}} E_{K} (b_{K})$ 都是單調遞減函數，因此讓它們變成 0 的 $b_{A}$ 、 $b_{K}$ 就是最佳下注尺度。

解出後可得 $b_{A} = 5 - 1 \approx 1.236$ 、 $b_{K} = \frac{5}{3} - 1 \approx 0.291$ 。

這代表的意思是，Hero 拿 A 時的最佳下注尺度為底池 123.6%、拿 K 時為底池 29.1%。先前從演算法結果所做的預測，

nuts 的 A 純粹使用大注。最佳尺度似乎落在 120% 到 130% 之間，略偏 120% 的位置。
second nuts 的 K 純粹使用小注。最佳尺度似乎落在 25% 到 30% 之間，略偏 30% 的位置。

結果完全命中。另外，此時 9 的 bluff 下注頻率為：

底池 123.6% 時是 $\frac{b _{A}}{1 + b _{A}} \approx \frac{1.236}{1 + 1.236} \approx 0.553$

底池 29.1% 時是 $\frac{b _{K}}{1 + b _{K}} \approx \frac{0.291}{1 + 0.291} \approx 0.225$

兩者相加也不會超過 1。也就是說，bluff 只需要 9 的 combo 就夠了，沒有必要連 T 也拿去 bluff。

5. 在實戰中進行下注尺度拆分的注意事項

到目前為止，我們談了下注尺度拆分能提升自身 range 的 EV。不過，要在真實撲克中實踐時，必須注意幾點。

在這個遊戲中，Villain 沒有 raise 權限，但在實際撲克中是有可能被 raise 的。

如果小注的 range 完全不含 nuts 等級的手牌，一旦被對手看穿，就會遭到 exploit，收到廣範圍且（polarized）的 raise。

這麼一來，自身 range 的 EV 會大幅下降。

因此，當對手是能妥善應對 raise 的優秀玩家時，要把一部分 nuts 等級的手牌放進小注以取得平衡（尤其是在 OOP 時）。

總結

這次文章難度依然偏高，感謝您讀到這裡。本文說明了GTO 所進行的下注尺度拆分，是擁有數學依據的有效打法。

結論簡潔整理如下。

進行下注尺度拆分時，越強的價值牌使用越大的下注尺度，EV 會隨之上升。
bluff 手牌要從 EQ 較低的弱牌中挑選，並依各下注尺度以適當頻率進行 bluff（實戰中，blocker 較好的手牌傾向選擇更大的 bluff 下注；本次遊戲中沒有 blocker）。
實戰中因為對手有 raise 權限，即使進行下注尺度拆分，也必須將 nuts 等級的手牌做某種程度的分佈，以防被 exploit。

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